Independent Random Variables
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Eine unendliche Folge von Zufallsvariablen heisst stochastisch unabhängig, wenn jede endliche Teilfolge davon stochastisch unabhängig ist. Mathematisch ausgedrückt:
\[P(X_1 \in A_1,...X_n \in A_n)=P(X_1 \in A_1) \cdot ... \cdot P(X_n \in A_n) \]Wir würfeln mit einem fairen Würfel dreimal. Die Zufallsvariable \(X\) zählt die Anzahl an gewürfelten Einsen. Die Zufallsvariable \(Y\) zählt die Anzahl an Vieren in den ersten 2 Würfe.
Dann sind \(X\) und \(Y\) nicht stochastisch unabhängig, weil
\[P(X=3,Y=2)=0 \neq P(X=3)\cdot P(Y=2) \]Person A kommt zu einem zufälligen Zeitpunkt zwischen 12:00 und 12:45, Person B unabhängig davon zwischen 12:15 und 13:00 in ein Café.
- X: Ankunftszeit von Person A \(X \sim U[0,45]\)
- Y: Ankunftszeit von Person B \(Y \sim U[15,60]\)
Faltung
Diskrete Zufallsvariablen
Es seien \(X, Y\) unabhängige diskrete Zufallsvariablen und Zähldichten \(f_X, f_Y\) Dann hat die Summe \(X+Y\) die Zähldichte
\[f_{X+Y}(z)=\sum_{x_i \in X}{f_X(x_i) \cdot f_y(z-x_i)} \]Daraus können wir auch folgendes ableiten
\[X\sim Poi(\lambda_1), Y \sim Poi(\lambda_2) = X+Y \sim Poi(\lambda_1 + \lambda_2) \] \[X\sim Bin(n_1,p), Y \sim Bin(n_2,p) = X+Y \sim Bin(n_1+n_2,p) \]Stetige Zufallsvariablen
\[f_{X+Y}(z)=\int_{x_i=-\infty}^{\infty}{f_X(x_i) \cdot f_y(z-x_i) dx} \]Additionstheorem Normalverteilung
Es seien \(X_1, X_2,...,X_n\) unabhängige, normal verteilte Zufallsvariablen eines Zufalls-experimentes mit Erwartungswerten \(\mu_i\) und Standardabweichungen \(\sigma_i\), mit \(a_i, a_2,...,a_n \in \mathbb{R}\) dann ist
\[Y=a_i X_1 + a_2 X_2 +...+a_n X_n \]mit dem Erwartungswert \(a_i \mu + a_2 \mu +...+a_n \mu\) und die Varianz \(a_i^2 \sigma^2 + a_2^2 \sigma^2 +...+a_n^2 \sigma^2\)