Differentiation

Konstantenregel

Die Ableitung einer Konstanten ist 0. mathf(x)=C \Rightarrow f'(x)=0, C \in R

Faktorregel

Beim Ableiten einer Funktion, bleibt ein konstanter Faktor \(k \in R\) vor einer Funktion unverändert erhalten. mathg(x)=k*f(x) \Rightarrow g'(x)=k*f'(x)

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen

• \(f(x)=sin(x) \Rightarrow f'(x)=cos(x)\)
• \(f(x)=cos(x) \Rightarrow f'(x)=-sin(x)\)
• \(f(x)=tan(x) \Rightarrow f'(x)={1\over cos^2(x)}=1+tan^2(x)\) für \(x \neq (2k+1){\pi \over 2}\)
• \(f(x)=cot(x) \Rightarrow f'(x)=- {1\over sin^2(x)}=-1-cot^2(x)\) für \(x \neq k \pi\)

Potenzregel

Die [[4-Funktionen#Potenzfunktion]] \(f(x) = x^n\) ist für alle \(x \in R\) differenzierbar. mathf(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}, n \in Z

![[Pasted image 20211024162633.png]]

Summenregel

Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen. maths(x)=f(x)\pm g(x) \Rightarrow s'(x)=f'(x) \pm g'(x)

![[Pasted image 20211024162805.png]]

Produktregel

mathf(x)=u(x)* v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

![[Pasted image 20211024163316.png]]

Allgemeine Produktregel

Allgemein gilt für die Ableitung eines Produktes aus \(n\) Faktoren. mathf(x)=u_1*u_2*...*u_n \Rightarrow f'(x)=u'_1*u_2*...u_n+u_1*u'_2*..*u_n+...+u_1*u_2*...*u'_n So wäre: \((uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\) und \((uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'\)

Quotientenregel

mathf(x)={u(x)\over v(x)} \Rightarrow f'(x)={{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}\over v(x)^2}

![[Pasted image 20211024164435.png]]

Kettenregel

Unter der Verkettung der Funktionen \(g\) und \(h\) versteht man die Nacheinanderausführung der Funktionen. Man wendet die äussere Funktion \(g\) auf das Ergebnis der inneren Funktion \(h\). Also von innen nach aussen. \(f(x)=g(h(x)) \iff f(x)=(g \circ h)(x)\)

Man setzt für die innere Funktion: \(z=h(x)\) so dass sich für die äussere Funktion \(f=g(z)=g(h(x))\)

mathf(x)=g(h(x)) \Rightarrow f'(x)=g'(z)*h'(x)

![[Pasted image 20211024170605.png]]

Ableitung der Exponentialfunktion

mathf(x)=e^{g(x)} \Rightarrow f'(x)= g'(x)* e^{g(x)}

![[Pasted image 20211024171328.png]]

Ableitung der Logarithmusfunktion

mathf(x)=log_a(x) \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{x * ln(a)} wenn \(f(x)=ln(x) \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{x}\)

![[Pasted image 20211024171755.png|100]]

Ableitung der Umkehrfunktion

Die Funktion \(f(x)\) sei differenzierbar mit der Ableitung \(f'(x)\) und besitzt die Umkehrfunktion \(x = g(y)\). Die Ableitung der Umkehrfunktion \(g(y)\) ist mathg'(y)={1\over f'(x)}

![[Pasted image 20211024172038.png]]