Analysis
Monotonie
Die erste Ableitung an der Stelle \(x_0\) beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion \(f\) in der unmittelbaren Umgebung der Stelle \(x_0\)
\[f'(x_0)=\begin{dcases} <0 \Rightarrow \text{Funktion fällt, streng monoton fallend} \\ >0 \Rightarrow \text{Funktion wächst, streng monoton wachsend} \end{dcases} \]![[Pasted image 20211024212936.png]]
![[Pasted image 20211024213308.png]]Krümmung
![[Pasted image 20211024213445.png]] Die zweite Ableitung an der Stelle \(x_0\) be-schreibt das Krümmungsverhalten einer Funktion \(f\) in der unmittelbaren Umgebung der Stelle \(x_0\):
\[f''(x_0)=\begin{dcases} <0 \Rightarrow \text{Rechtskrümmung, Steigung nimmt ab} \\ <0 \Rightarrow \text{Linkskrümmung, Steigung nimmt zu wachsend} \end{dcases} \]Konkav
Ist \(f''(x) < 0 \Rightarrow f'(x)\) ist streng monoton fallend \(\Rightarrow f(x)\) ist konkav (Rechtsgekrümmt).
Konvex
Ist \(f''(x) > 0 \Rightarrow f'(x)\) ist streng monoton wachsend \(\Rightarrow f(x)\) ist konvex (linksgekrümt).
Extremwerte
Lokales Maximum
Ist \(f'(x_0)=0 und f''(x_0)<0\), dann ist x_0 ein lokales Maximum.
Lokales Minimum
Ist \(f'(x_0)=0 und f''(x_0)>0\), dann ist x_0 ein lokales Minimum.
![[Pasted image 20211024220630.png]]Wendepunkte und Sattelpunkte
![[Pasted image 20211024220732.png]] Ist \(f''(x_0)=0 und f'''(x_0)\neq 0\), dann ist \(x_0\) ein Wendepunkt. Wenn zusätzlich noch \(f'(x_0)=0\), dann ist \(x_0\) zusätzlich noch ein Sattelpunkt.
![[Pasted image 20211024220936.png]]