Function Analysis

Real Functions

Unter einer reellen Funktion \(f\) versteht man die Abbildung, die jedem \(x \in D\) mit \(D \subseteq R\) genau eine reelle Zahl \(y\) aus einer Wertemenge \(W\) zuordnet:

Nullstelle

Eine Funktion \(f\) besitzt eine Nullstelle in \(x_0\), falls \(f(x_0) = 0\) gilt. Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse in einer Nullstelle der Funktion.

Gerade

Eine Funktion heisst gerade, falls \(f(x) = f(−x)\) für alle \(x\in D\) gilt. Der Funktionsgraph einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y−Achse.

Ungerade

Eine Funktion heißt ungerade, falls \(f(−x) = −f(x)\) für alle \(x\in D\) gilt. Der Funktionsgraph einer ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Polynomfunktion

Eine Funktion \(f: R \mapsto R\) der Form:

mit \(a_n \neq 0\) heisst Polynom vom Grad \(n\). Die reelen Zahlen \(a_0,a_1,...,a_n\) heissen Koeffizienten der Polynoms.

Linearfaktoren

Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Polynoms \(n\)-ten Grades von \(f\), dann wäre ein Linearfaktor von \(f\):

Jedes Polynom \(n\)-ten Grades hat höchstes n verschiedene Nullstellen. Besitzt ein Polynom \(n\)-ten Grades \(n\) Nullstellen \(x_1,x_2,..x_n\) dann lässt es sich als Produkt aus \(n\) Linearfaktoren darstellen:

Zerlegung in Linearfaktoren

Die Abspaltung eines Linearfaktors erreicht man am besten mit Polynomdivision.

Rationale Funktion

Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von zwei Polynomfunktion \(g(x)\) und \(h(x)\) darstellen lässt.

Ein Polynomfunktion ist eine rationale Funktion wo \(n=0\).

Echt rationale Funktionen

Wenn \(m<n\)

Unecht rationale Funktionen

Wenn \(m \geq n\)

Eigenschaften

Sei \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) eine rationale Funktion. Mit Zähler und Nenner soweit möglich in Linearfaktoren zerteilt und gemeinsame Linearfaktoren gekürtzt

Nullstellen

Die im Zähler(\(g(x)\)) verbleibenden Linearfaktoren ergeben die Nullstellen der Funktion \(f(x)\).

Polstellen

Die im Nenner (\(h(x)\))verbleibenden Linearfaktoren ergeben die Polstellen der Funktion \(f(x)\).

Pollstelle \(k\)-ter Ordnung

Ist Linearfaktor im gekürzten Nenner in \(k\)-ter Ordnung \((x − x_0)^k, k \in N\) dann nennt man die Stelle \(x_0\) eine Polstelle \(k\)−ter Ordnung.

Pollstelle mit Vorzeichenwechsel

Es sei \(x_0\) eine Pollstelle \(k\)-ter Odnung.

• Ist \(k\) gerade, so handelt es sich um eine Pollstelle ohne Vorzeichenwechsel.
• Ist \(k\) ungerade, so handelt es sich um eine Pollstelle mit Vorzeichenwechsel.

Defintionslücken

Vor dem kürzen sind die Nullstellen im Nenner(\(h(x)\)) für rationale Funktionen nicht definiert. Sie müssen explizit aus dem Definitionsbereich der Funktion herausgenommen werden, man spricht von Definitionslücken.

Hebbare Definitionslücken

Die vollständig weggekürzten Linearfaktoren im Nenner geben die hebbaren Definitionslücken der Funktion \(f(x)\) an.

Verhalten rationale Funktionen im Unendlichen

Genau gleich wie [[2-Folgen#Rationale Folgen]]. Sei \(f(x) = {g(x)\over h(x)}\) eine rationale Funktion, dann gilt für den Grenzwert:

Umkehrfunktion

Eine Funktion \(f: x \mapsto y, D \mapsto W\) heisst umkehrbar, wenn aus \(x_1 \neq x_2\) stets folgt \(f(x_1)\neq f(x_2)\) Ist die Funktion umkehrbar, dann gibt es zu jedem \(y \in W\) genau ein \(x \ in D\) \(f^{-1}: y \mapsto f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))=x\) wird Umkehrfunktion genannt.

Potenzfunktion

Polynomfunktion der Form \(p: x \mapsto ax^n, R \mapsto R\) für \(a,n \in R\) Potenzfunktion haben Wurzelfunktion als Umkehrfunktion und umgekehrt.

Wurzelfunktion

Die Funktion\(p^{-1}: x \mapsto\sqrt[n]{x}\) für n gerade \(R^+ \mapsto R^+\), für n ungerade \(R \mapsto R\) heisst \(n\)-te Wurzerlfunktion mit \(n \in N\).

Exponentialfunktion

\(f: x \mapsto e^x\) mit \(e=2.71828...=\) Eulersche Zahl heisst Exponentialfunktion.

Rechenregeln der Exponentialfunktion

• \(e^0=1\)
• \(e^{x+y}=e^x*e^y\)
• \(e^{-x}=(e^x)^-1={1 \over e^x}\)
• \(e^{nx}=(e^x)^n\)
• \(e^{1 \over n}=\sqrt[n]{e}\)

Logarithmusfunktion

Die Umkehrfunktion zu Exponentialfunktion wird natürliche Logarithmusfunktion genannt. \(f: x \mapsto ln(x), R^+ \mapsto R\)

Rechenregeln der Logarithmusfunktion

• \(ln(1)=0\)
• \(ln(x*y)=ln(x)+ln(y)\)
• \(ln(x^n)= n*ln(x)\)
• \(ln(e^x)=x ln(e) = x\) weil \(ln(e)=1\)

Trigonometrische Funktionen

Sinus- und Cosinusfunktion sind periodisch mit der Periode \(2\pi\), d.h. es gilt \(f(x)=f(x+k*2\pi), k \in Z\)

Die Funktionsgraphen von Sinus- und Cosinusfunktion sind kongruent. Durch Verschiebung um \(2\pi\) nach links, geht die Cosinus-Kurve aus der Sinus-Kurve hervor.

Trigonometrischer Pythagoras

Sinus

\(sin: x \mapsto sin(x), R \mapsto [-1,1]\)

Cosinus

\(cos: x \mapsto cos(x), R \mapsto [-1,1]\)

Tangens

Cotangens

Grenzwert einer Funktion

ist für \(x=0\) nicht definiert, hier besteht eine Definitionslücke. Wir können den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\)zwar nicht berechnen, aber mit einer Folge \(x_n\) beliebig nahe an die Definitionslücke herantasten.

Rechtseitigen Grenzwert

Die Folge \(x_n=1\over n\) für \(n \to \infty\) konvergiert gegen 0. Wir können somit die Folgenglieder in die Funktion einsetzen:

Wir vermuten, dass die Funktionswerte gegen den Grenzwert 2 konvergieren. Es gilt also für jede beliebige Folge \(x_n \to 0\), dass \(f(x_n) \to 2\) gilt. Man schreibt daher:

und bezeichnet diesen Wert als den rechtseitigen Grenzwert der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=0\)

Linkseitigen Grenzwert

Wir wollen nun eine Folge betrachten, die sich von links dem Wert 0 nähert. Z.B \(x_n=-1\over n\). Hier erhalten wie folgende Wertetabelle beim einsetzen:

Aus der Wertetabelle entnehmen wir auch hier, dass die Folge der Funktionswerte \(f(x_n)\) gegen den Wert 2 konvergiert. Man schreibt daher:

und bezeichnet diesen Wert als den linkseitigen Grenzwert der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=0\)

Zusammenfassung Grenzwert einer Funktion

Betrachtet man bei der Grenzwertbetrachtung einer Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) nur Zahlenfolgen \(x_n\), die kleinere Werte als \(x_0\) enthalten, dann bezeichnet man den Grenzwert als Linkseitigen Grenzwert

Zahlenfolgen mit grösseren Werten als \(x_0\) erzeugen den Rechtseitigen Grenzwert

Streben für jede gegen \(x_0\) konvergente Zahlenfolge \(x_n\) die Funktionswerte \(f(x_n)\) gegen denselben Wert \(G\), dann besitzt die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) den Grenzwert \(G\)

Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte

Seien \(f\) und \(g\) zwei Funktionen mit dem gleichen Grenzwerten \(G,F\) bei \(x_0\) dann gilt:

• \(\lim_{x \to x_0}{(f(x)\pm g(x))}=F\pm G\)
• \(\lim_{x \to x_0}{(f(x)*g(x))}=F*G\)
• \(\lim_{x \to x_0}{(f(x)\over g(x))}=F\over G\) für \(g(x_0) \neq 0\) und \(G \neq 0\)

Stetigkeit

Eine Funktion heisst stetig, wenn ihr Graph kein Loch und keinen Sprung aufweist, d.h. wenn man beim Zeichnen ihres Graphen den Stift nicht absetzen muss.

Eine Funktion heisst an einer Stelle \(x = x_0\) stetig, wenn der Grenzwert von \(f(x)\) für \(x \to x_0\) existiert und mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\) übereinstimmt:

Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches \(D\) stetig ist, nennt man eine stetige Funktion (auf \(D\)).
Existiert der Grenzwert hingegen nicht oder ist er nicht gleich wie der Funktionswert, so ist die Funktion an dieser Stelle unstetig.

Hebbare Unstetigkeitsstelle

Wenn bei einer Funktion f der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind aber nicht mit dem Funktionswert \(f(x_0)\) übereinstimmen oder die funktion an \(x_0\) nicht definiert ist, dann kann man eine neue Funktion definieren, die an der Stelle \(x_0\) stetig ist. Die Stelle \(x_0\) heisst hebbare Unstetigkeitsstelle

Stetige Funktionen

• Polynomfunktion sind für \(R\) stetig.
• Exponentialfunktionen \(f(x)=a^x, (a > 0, 1\neq 0)\) sind für \(R\) stetig.
• Logarithmusfunktionen \(f(x)=log_a(x), (a > 0, 1\neq 0)\) sind für \(x>0\) stetig.
• Trigonometrsiche Funktionen \(cos(x), sin(x)\) sind für \(R\) stetig.
• Hyperbelfunktionen \(sinh(x), cosh(x), tanh(x))\)sind für R stetig.

Rechenregeln für Stetige Funktionen

Sind die Funktionen \(f\) und \(g\) auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig, insbesonders an der Stelle \(x_0\) gilt:

• \(f \pm g\) ist ebenfalls stetig in \(x_0\)
• \(f * g\) ist ebenfalls stetig in \(x_0\)
• \(f \over g\) ist ebenfalls stetig in \(x_0\), falls \(g(x_0) \neq 0\)
• Die Komposition von \(f \circ g\) ist ebenfalls an der Stelle \(x_0\) stetig

Steigung

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

\(m\) ist dann die Steigung der Geraden.

Sekante - Differenzenquotient

Eine Gerade durch 2 Punkte \(P_0(x_0/f(x_0))\) und \(P_1(x_1/f(x_1))\) heisst Sekante. Die Steigung der Sekante wird Differenzenquotient genannt.

Gleichung der Sekante lautet: \(g(x)=m*(x-x_0)+f(x_0)\)

Tangente - Differenzialkoeffizient

Eine Tangente einer Funktion \(f\) im Punkt \(x_0\) ist eine Gerade durch einen Punkt \(P(x_0/f(x_0))\). Der Grenzwert des [[#Sekante - Differenzenquotient]] wird als Differnzialkoeffizient, dafür gibt es verschiedende Schreibweisen:

Gleichung der Tangente lautet: \(g(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)\)

Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten dann nennt man die Funktion differenzierbar an der Stelle \(x_0\). Der Grenzwert wird als Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\).

Ableitungsfunktion

Die Funktion \(f': x \mapsto f'(x)\) heisst die Ableitungsfunktion von \(f(x)\) oder kurz Ableitung von \(f()x\). Die Ableitungsfunktion ordnet jedem Wert x die Steigung der Tangente an der Stelle x zu.

Höhere Ableitung

Exisitiert zu einer Funktion \(f\) Ableitung \(f'\) und ist \(f'(x)\) wieder differenzierbar, so bezeichnet man deren Ableitung als zweite Ableitung \(f''(x)\). Es gilt also \(f''=(f')'\) Die \(n\)-te Ableitung für \(n>3\) schreibt man \(f^{(n)}\), die Funktion ist dann \(n\)-mal differenzierbar.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

• Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig und hat an allen Stellen eine eindeutige Steigung.
• Ist eine Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) nicht stetig, dann ist sie dort auch nicht differenzierbar.