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Trigonometry

Trigonometry

Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit einem Radius von 1 und dessen Mittelpunkt am Ursprung ist. Was auch heisst das jeder Punkt auf diesem Kreis genau 1 vom Ursprung entfernt ist. einheitskreis

Quadrante

Oftmals wird der Einheitskreis auch in 4 Teile geschnitten, die sogenannten Quadrante, welche durchnummeriert sind von 1 bis 4 beginnend mit oben rechts im gegen uhrzeigersin.

Einheiten

Grad

Der Grad ist ein Winkelmass, das Gradmass. Beim Gradmass wird ein Kreis in 360 Teile geschnitten, 1 Grad entspricht also einem dieser Teile. Ein Kreis entspricht also 360 Grad.

Radian

Der Radian ist ein ein Winkelmass, das Bogenmass. Beim Bogenmass betrachten wir die Länge des Bogens auf einem Kreis. 1 Radian entspricht einem Radius als Bogen. Der Umfang eines Kreises entspricht 2πr2\pi r was dann auch 360 Grad entspricht. Weil der Radius des Einheitskreises 1 ist entspricht dann der Umfang des Einheitskreises 2π2\pi.

bogenmass

Umrechnen Grad und Radian

Wir können zwischen den 2 Winkelmasse wie gefolgt rechnen.

  • Grad zu Radian: x=α⋅π180x=\alpha \cdot \frac{\pi}{180}
  • Radian zu Grad: α=x⋅180π\alpha=x \cdot \frac{180}{\pi}

Winkel im Dreieck

Rechtwinklig

Bei einem rechtwinkligem Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit einem rechten Winkel (90 Grad).

Wir bezeichnen die längste Seite als Hypotenuse. Diese Seite ist auch gegenüber vom rechten Winkel.

Die kürzeren Seiten nennen wir Katheten. In Bezug auf einen bestimmten Winkel (im Bild α\alpha) unterscheidet man die Ankathete (die dem Winkel anliegende Kathete, b) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete, a).

Der Satz von Pythagoras besagt auch, dass die Länge der Hypotenuse die Summe der quadrierten Längen der Katheten ist. a2+b2=c2a^2 + b^2=c^2

rechtwinkligesDreieck

Sinus von α=sin⁡(α)=ac=GegenkatheteHypotenuse=GHKosinus von α=cos⁡(α)=bc=AnkatheteHypotenuse=AHTangens von α=tan⁡(α)=ab=GegenkatheteAnkathete=GAKosekans von α=csc⁡(α)=ca=HypotenuseGegenkathete=HG=1sin⁡(α)Sekans von α=sec⁡(α)=cb=HypotenuseAnkathete=HA=1cos⁡(α)Kotangens von α=cot⁡(α)=ba=AnkatheteGegenkathete=AG=1tan⁡(α)\begin{align*} \text{Sinus von }\alpha &=\sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &=\frac{\text{G}}{\text{H}}& \\ \text{Kosinus von }\alpha &=\cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} &=\frac{\text{A}}{\text{H}}& \\ \text{Tangens von }\alpha &=\tan(\alpha)=\frac{a}{b}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &=\frac{\text{G}}{\text{A}}& \\ \text{Kosekans von }\alpha &=\csc(\alpha)=\frac{c}{a}=\frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}&=\frac{\text{H}}{\text{G}}&=\frac{1}{\sin(\alpha)} \\ \text{Sekans von }\alpha &=\sec(\alpha)=\frac{c}{b}=\frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} &=\frac{\text{H}}{\text{A}}&=\frac{1}{\cos(\alpha)} \\ \text{Kotangens von }\alpha &=\cot(\alpha)=\frac{b}{a}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} &=\frac{\text{A}}{\text{G}}&=\frac{1}{\tan(\alpha)} \end{align*}

Weil im Einheitskreis die Hypotenuse, cc immer 1 ist lassen sich alle Funktionen vereinfachen und wir können folgendes daraus entnehemen

sinusKosinusEinheitskreis

Allgemein

Cosinussatz

Sinussatz

Kosinus, cos

Sinus, sin

Tangens, tan

Kotangens, cot

Sekans, sec

Kosekans, csc/cosec

CheatsheetAbsolute Value