Differentiation

Konstantenregel

Die Ableitung einer Konstanten ist 0. $f(x)=C \Rightarrow f'(x)=0, C \in R$

Faktorregel

Beim Ableiten einer Funktion, bleibt ein konstanter Faktor $k \in R$ vor einer Funktion unverändert erhalten. $g(x)=k*f(x) \Rightarrow g'(x)=k*f'(x)$

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen

• $f(x)=sin(x) \Rightarrow f'(x)=cos(x)$
• $f(x)=cos(x) \Rightarrow f'(x)=-sin(x)$
• $f(x)=tan(x) \Rightarrow f'(x)={1\over cos^2(x)}=1+tan^2(x)$ für $x \neq (2k+1){\pi \over 2}$
• $f(x)=cot(x) \Rightarrow f'(x)=- {1\over sin^2(x)}=-1-cot^2(x)$ für $x \neq k \pi$

Potenzregel

Die [[4-Funktionen#Potenzfunktion]] $f(x) = x^n$ ist für alle $x \in R$ differenzierbar. $f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}, n \in Z$

![[Pasted image 20211024162633.png]]

Summenregel

Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen. $s(x)=f(x)\pm g(x) \Rightarrow s'(x)=f'(x) \pm g'(x)$

![[Pasted image 20211024162805.png]]

Produktregel

$f(x)=u(x)* v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)$

![[Pasted image 20211024163316.png]]

Allgemeine Produktregel

Allgemein gilt für die Ableitung eines Produktes aus $n$ Faktoren. $f(x)=u_1*u_2*...*u_n \Rightarrow f'(x)=u'_1*u_2*...u_n+u_1*u'_2*..*u_n+...+u_1*u_2*...*u'_n$ So wäre: $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$ und $(uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'$

Quotientenregel

$f(x)={u(x)\over v(x)} \Rightarrow f'(x)={{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}\over v(x)^2}$

![[Pasted image 20211024164435.png]]

Kettenregel

Unter der Verkettung der Funktionen $g$ und $h$ versteht man die Nacheinanderausführung der Funktionen. Man wendet die äussere Funktion $g$ auf das Ergebnis der inneren Funktion $h$. Also von innen nach aussen. $f(x)=g(h(x)) \iff f(x)=(g \circ h)(x)$

Man setzt für die innere Funktion: $z=h(x)$ so dass sich für die äussere Funktion $f=g(z)=g(h(x))$

$f(x)=g(h(x)) \Rightarrow f'(x)=g'(z)*h'(x)$

![[Pasted image 20211024170605.png]]

Ableitung der Exponentialfunktion

$f(x)=e^{g(x)} \Rightarrow f'(x)= g'(x)* e^{g(x)}$

![[Pasted image 20211024171328.png]]

Ableitung der Logarithmusfunktion

$f(x)=log_a(x) \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{x * ln(a)}$ wenn $f(x)=ln(x) \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{x}$

![[Pasted image 20211024171755.png|100]]

Ableitung der Umkehrfunktion

Die Funktion $f(x)$ sei differenzierbar mit der Ableitung $f'(x)$ und besitzt die Umkehrfunktion $x = g(y)$. Die Ableitung der Umkehrfunktion $g(y)$ ist $g'(y)={1\over f'(x)}$

![[Pasted image 20211024172038.png]]