Integrals Explained

In der Differentialrechnung ist eine Funktion $f$ gegeben und deren Ableitung $f'$ gesucht. In der Integralrechnung ist es genau anders herum. Die Ableitung $f'$ ist gegeben und die Funktion $f$ wird gesucht. Z.B. Wenn $f'(x)=2x$ ist dann wissen wir das $f(x)=x^2$ ist. Die gesuchte Funktion beim integrieren wird auch oft als die Stammfunktion $F$ genannt, beachte hier ist es ein Grossbuchstabe. Wir sehen also, dass das Integrieren die Umkehrfunktion zum Ableiten.

$F(x)=f(x)=\int{f'(x)\,dx}$

Zu unserem oberen Beispiel können wir auch noch eine Konstante $C$ hinzufügen und es ist immernoch eine Stammfunktion also

$f(x)=x^2+3 \Rightarrow f'(x)= 2x$

Wir können also sehen, dass es zu jeder stetigen Funktion $f(x)$ unendlich viele Stammfunktionen gibt. Das heisst dann wiederum, dass zwei beliebige Stammfunktionen $F_1(x)-F_2()=Konstante$ sich nur um eine Konstante unterscheiden. Wir beschreiben also die Menge aller Stammfunktionen als

$F(x)=F_1(x)+C$