Independent Random Variables

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Eine unendliche Folge von Zufallsvariablen heisst stochastisch unabhängig, wenn jede endliche Teilfolge davon stochastisch unabhängig ist. Mathematisch ausgedrückt:

P(X_1 \in A_1,...X_n \in A_n)=P(X_1 \in A_1) \cdot ... \cdot P(X_n \in A_n)

Beispiel Abhängigkeit von Zufallsvariablen

Wir würfeln mit einem fairen Würfel dreimal. Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl an gewürfelten Einsen. Die Zufallsvariable $Y$ zählt die Anzahl an Vieren in den ersten 2 Würfe.

Dann sind $X$ und $Y$ nicht stochastisch unabhängig, weil

P(X=3,Y=2)=0 \neq P(X=3)\cdot P(Y=2)

Beispiel Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Person A kommt zu einem zufälligen Zeitpunkt zwischen 12:00 und 12:45, Person B unabhängig davon zwischen 12:15 und 13:00 in ein Café.

X: Ankunftszeit von Person A $X \sim U[0,45]$
Y: Ankunftszeit von Person B $Y \sim U[15,60]$

P(X\leq 30,Y\leq 30)=

Faltung

Diskrete Zufallsvariablen

Es seien $X, Y$ unabhängige diskrete Zufallsvariablen und Zähldichten $f_X, f_Y$ Dann hat die Summe $X+Y$ die Zähldichte

f_{X+Y}(z)=\sum_{x_i \in X}{f_X(x_i) \cdot f_y(z-x_i)}

Daraus können wir auch folgendes ableiten

X\sim Poi(\lambda_1), Y \sim Poi(\lambda_2) = X+Y \sim Poi(\lambda_1 + \lambda_2)

X\sim Bin(n_1,p), Y \sim Bin(n_2,p) = X+Y \sim Bin(n_1+n_2,p)

Stetige Zufallsvariablen

f_{X+Y}(z)=\int_{x_i=-\infty}^{\infty}{f_X(x_i) \cdot f_y(z-x_i) dx}

Additionstheorem Normalverteilung

Es seien $X_1, X_2,...,X_n$ unabhängige, normal verteilte Zufallsvariablen eines Zufalls-experimentes mit Erwartungswerten $\mu_i$ und Standardabweichungen $\sigma_i$ , mit $a_i, a_2,...,a_n \in \mathbb{R}$ dann ist

Y=a_i X_1 + a_2 X_2 +...+a_n X_n

mit dem Erwartungswert $a_i \mu + a_2 \mu +...+a_n \mu$ und die Varianz $a_i^2 \sigma^2 + a_2^2 \sigma^2 +...+a_n^2 \sigma^2$

Continuous Random Variables Markov Chains