Convergence of Series

Reihe einer Folge

Bei einer reellen Folge $a_1, a_2, a_3,...$ wird die zugehoörige Folge der Teilsummen $s_n$ eine Reihe der Folge $a_n$ genannt: $s_n = a_1+a_2+a_3+... +a_n = \sum^{\infty}_{k=1}{a_k}$ $s_n$ wird auch $n$−te Teilsumme der Folge $a_n$ genannt.

Unendliche Reihe besitzt unendlich viele Glieder. Also wenn $\sum^{\infty}$

Konvergenz

Konvergent Reihe = wenn eine Reihe den Grenzwert $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{s_n}=s=\sum^{\infty}_{k=1}{a_k}$ eine nicht-konvergente Reihe heisst divergent. Notwendiges Konvergenzkriterium für Reihen Damit eine Reihe überhaupt konvergent sein kann, muss die entsprechende Folge eine Nullfolge sein. Ist sie nicht eine Nullfolge so it die REihe garantiert divergent.

Rechenregeln für konvergente Reihen

Sind $\sum^{\infty}_{k=1}{a_k}$ und $\sum^{\infty}_{k=1}{b_k}$ konvergente Reihen so gilt:

1. $\sum^{\infty}_{k=1}{c*a_k}=c* \sum^{\infty}_{k=1}{a_k}$ für $c \in R$
2. $\sum^{\infty}_{k=1}{a_k\pm b_k}=\sum^{\infty}_{k=1}{a_k}\pm \sum^{\infty}_{k=1}{b_k}$

Geometrische Reihe

Reihe einer [[2-Folgen#Geometrsiche Folge]]] hat die Form:

$\sum^{\infty}_{k=1}{a_1*q^{k-1}}=a_1*(a+q+q^2+...)= {{a_1*(1-q^n)} \over 1-q}$ für $q\in R, q\neq 0$

Konvergenz einer geometrischen Reihe

Eine geometrische Reihe ist für alle $q \in R$ und $|q| < 1$ konvergent mit dem Grenzwert: $a_1\over 1-q$. Für $|q|\geq 1$ ist die geometrsiche Reihe divergent.