Sequences

A sequence is a list of objects. Unlike a set, the order of the objects in a sequence matters. The objects in a sequence are called elements or terms and are most commonly written between round or square brackets. Out of simplicity sequences are often also jut written out and separated by commas.

A sequence can have no elements at all, in which case it is called an empty sequence and is denoted by $()$. The number of elements in a sequence is called its length. The length of a sequence can be finite or infinite.

Unlike a set, the same element can appear multiple times in a sequence.

Indexing

The elements of a sequence are indexed by natural numbers. The index of an element is the natural number that corresponds to the position of the element in the sequence. The index of the first element is usually 1 or 0, depending on the context. As a computer scientist, I prefer to start counting at 0, but in mathematics, it is more common to start counting at 1.

This also allows for sequences to be defined by a function:

Where the function $f$ maps the natural numbers i.e. the index to the real numbers i.e. the elements of the sequence.

The index is often written as a subscript to the variable name, e.g. $a_n$ is the n-th element of the sequence.

Forms of Sequences

Sequences can be defined primarly in three ways: Enumeration, explicitly with a formula, or recursively.

Enumeration

Explicitly

Recursively

recurrenceRelations

Equality

Two sequences are equal if they have the same length and each element is equal to the corresponding element in the other sequence. Meaning that for two sequences to be equal, they must have the same elements in the same order.

Order Pair

An ordered pair is a sequence of exactly two elements. This is often used to represent points in a two-dimensional space, i.e the x and y coordinates of a point in the Cartesian coordinate system.

n-tuple

The idea of an ordered pair can be generalized for any finite number of elements a so called n-tuple. n-tuples are sequences of exactly n elements and are commonly seen in computer science and mathematics.

In linear algebra a vector is often represented as an n-tuple. For example a 3-dimensional vector in 3D space can be represented as a 3-tuple. This would correspond to a row-vector which we like to transpose to a column-vector.

Properties of Sequences

Monotony

Increasing and decreasing

strictly monotonically increasing

Eine Folge $a_n$ heisst Monoton wachsend, falls für alle Folgenglieder gilt $a_n \leq a_{n+1}$ Strng Monoton wachsend, falls für alle Folgenglieder gilt $a_n < a_{n+1}$ Monoton fallend, falls für alle Folgenglieder gilt $a_n \geq a_{n+1}$ Strng Monoton fallend, falls für alle Folgenglieder gilt $a_n > a_{n+1}$

:::note

$a_n=n^2$ ist streng monoton wachsend. $b_n={1\over n}$ ist streng monoton fallend. $c_n=(-1)^n$ ist weder monoton fallend not wachsend. $d_n=1$ ist monoton wachsend und fallend aber nicht streng.

:::

Untersuchung

Für die Untersuchung der Monotonie werden oft Ausdrücke der Form $a_{n+1}-a_n$ oder ${a_{n+1} \over a_n} > 1$ betrachtet.

Z.b wenn $a_{n+1} - a_n < 0$ (eigentlich $a_{n+1}<a_n$) gilt, ist die Folge streng monoton fallend. $a_{n+1} - a_n \leq 0$ wäre nur monoton fallend.

:::note

Zeig das die Folge $a_n={2^{n+1}\over 3^n}$ streng monoton fallend ist.

1. Es muss gelten: $a_{n+1} - a_n < 0 \iff a_{n+1}<a_n$
   1. Gleichnamig machen: ${2^{n+1}\over 3^n} - {2^{n+2} \over 3^{n+1}} = {3*2^{n+1}\over 3*3^n} - {2*2^{n+1} \over 3^{n+1}}$
   2. Vereinfachen: $(3-2)*2^{n+1} \over 3^{n+1}$
   3. $({2\over 3})^{n+1}>0$
2. Oder es muss gelten: ${a_{n+1} \over a_n} > 1$
   1. ${{2^{n+1}\over 3^n}\over {2^{n+2} \over 3^{n+1}}} = {{2^{n+1}\over 3^n} *{3^{n+1} \over 2^{n+2}}}$
   2. Kürzen: ${{2^{n+1}\over 3^n} *{3*3^{n} \over 2*2^{n+1}}}={3\over 2} > 1$

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Boundedness

Eine Folge $a_n$ heisst Nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl $S$ gibt, so dass $a_n \leq S$ für alle $n \in N$ gilt. $S$ heisst eine obere Schranke der Folge. Nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl $s$ gibt, so dass $a_n \geq s$ für alle $n \in N$ gilt. $s$ heisst eine untere Schranke der Folge.

Hat eine Folge eine obere und untere Schranke ist sie eine beschränkte Folge.

:::note

$a_n=-2n^2+4 = 2,-4,-14,-28,...$ nach oben Beschränkt mit $S=2$ $a_n=n-5 = -5,-4,-3,...$ nach unten Beschränkt mit $s=5$ $a_n=(-1)^n = -1,1,-1,1,...$ Beschränkt mit $s=1$ und $S=1$ $a_n=(-1)^n *n^2= -1,4,-9,16,...$ weder nach oben noch nach unten

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Limits and Convergence

:::note

Für $a_n={2n+3 \over n}$

Sprechweise: Die Folge $a_n$ strebt mit wachsendem $n$ gegen den Grenzwert 2.

Schreibweise: $\lim_{x \to \infty} {2n+3 \over n} = 2$ Wird gelesen als "Limes von ${2n+3 \over n}$ für n gegen unendlich ist 2."

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$\varepsilon$-Umgebung

$\varepsilon$-Umgebung oder $\varepsilon$-Streifen ist ein Streifen mit einem Radius $\varepsilon$ um den vermuteten Grenzwert. Der Index des Folgengliedes, welches als erstes im Streifen liegt, nennt man Eintauchzahl, $N_{\varepsilon}$.

:::note

$a_n={2n+3 \over n}$ mit Streifen $\varepsilon = {1\over 2}$ ![[Pasted image 20211016100108.png]] Ist die Eintauchszahl $N_{1\over 2} = 7$, weil $a_6$ liegt auf dem Streifenrand, $a_7$ jedoch darin.

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Definition

Eine Folge $a_n$ konvergiert gegen einen Grenzwert $g \in R$ wenn es zu jeder noch so kleinen Zahl $\varepsilon >0$ eine Zahl $N_{\varepsilon}$ gibt, so dass $|a_n -g| < \varepsilon$ für alle $n \geq N_{\varepsilon}$.

Eine Folge die einen Grenzwert $g \in R$ besitzt, heisst konvergent. Achtung $\infty \notin R$!!!!! Eine Folge die keinen Grenzwert besitzt, heisst divergent.

• Jede monoton wachsende (bzw. fallende) Folge, die beschränkt ist, ist immer konvergent.
• Das Produkt einer beschränkten Folge und einer Nullfolge ist immer eine Nullfolge.

Untersuchen

:::note

$a_n={n-1 \over n+2}$ vermuteter Grenzwert $g=1$ $|a_n-g|=|{n-1\over n+2}-1| < \varepsilon$ $\Rightarrow |{n-1\over n+2}-{n+2\over n+2}| < \varepsilon$ $\Rightarrow |{-3\over n+2}|={|-3|\over|n+2|} < \varepsilon$ $\Rightarrow {3\over n+2} < \varepsilon$ $\Rightarrow {3\over \varepsilon} -2< n$

Für $\varepsilon = 0.2$ erhält man $n>{3\over 0.2} -2 = 13$ daher ab $a_14$ beträgt Differenz von Folgenglied und Grenzwert weniger als $\varepsilon$ $N_{0.2}=14$

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Using Convergent Sequences

Sind $a_n$ und $b_n$ konvergente Folgen mit den Grenzwerten $a$ bzw. $b$, so ist auch die Folge:

• $c*a_n$ konvergent mit $\lim_{n \to \infty} {c*a_n} = c*\lim_{n \to \infty} {a_n} = c*a$ für $c \in R$
• $a_n \pm b_n$ konvergent mit $\lim_{n \to \infty}{a_n \pm b_n}={{\lim_{n \to \infty}{a_n}} \pm {\lim_{n \to \infty}{b_n}}}={a \pm b}$
• $a_n *b_n$ konvergent mit $\lim_{n \to \infty}{a_n* b_n}={{\lim_{n \to \infty}{a_n}} * {\lim_{n \to \infty}{b_n}}}={a * b}$
• $a_n \over b_n$ konvergent mit $\lim_{n \to \infty}{a_n \over b_n}={{\lim_{n \to \infty}{a_n}} \over {\lim_{n \to \infty}{b_n}}}={a \over b}$ falls $b \neq 0$

Special Sequences

Artihmetic Sequences

Zero Sequences

Harmonic Sequences

Nullfolge eine Folge die den Grenzwert 0 besitzt. Harmonische Folge $a_n={1\over n}$ ist eine Nullfolge

Geometric Sequences

Folgen der Form: $a_n= a_1 *q^{n-1}$ sind geometrische Folgen. Jedes Glied ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder $a_n=\sqrt {a_{n-1}+a_{n+1}}$

Convergence of Geometric Sequences

Eine geometrische Folge $a_n= a_1* q^{n-1}$

• mit $|q|>1$ ist divergent
• mit $|q|<1$ ist konvergent mit Grenzwert 0
• mit $q=1$ ist eine konstante Folge $a_1$
• mit $q=-1$ ist divergent, da alternierend.

Rational Sequences

Für eine rationale Folge, die im Zähler aus einem Polynom k-ten Grades und im Nenner aus einem Polynom l-ten Grades besteht, gilt: